Χρήση της ανάλυσης παλινδρόμησης για την κατανόηση πολύπλοκων σχέσεων

Η ανάλυση παλινδρόμησης είναι μια προσέγγιση για τον εντοπισμό και την ανάλυση της σχέσης μεταξύ μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών και μιας εξαρτημένης μεταβλητής. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους κλάδους, όπως η υγειονομική περίθαλψη, οι κοινωνικές επιστήμες, η μηχανική, τα οικονομικά και οι επιχειρήσεις. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ανάλυση παλινδρόμησης για να διερευνήσετε τις θεμελιώδεις σχέσεις στα δεδομένα και να αναπτύξετε μοντέλα πρόβλεψης που θα σας βοηθήσουν στη λήψη τεκμηριωμένων αποφάσεων.

Αυτό το άρθρο θα σας παρέχει μια ολοκληρωμένη επισκόπηση της ανάλυσης παλινδρόμησης, συμπεριλαμβανομένου του τρόπου λειτουργίας της, ένα εύληπτο παράδειγμα και θα εξηγήσει πώς διαφέρει από την ανάλυση συσχέτισης.

Τι είναι η ανάλυση παλινδρόμησης;

Η ανάλυση παλινδρόμησης είναι μια στατιστική μέθοδος για τον εντοπισμό και την ποσοτικοποίηση της σχέσης μεταξύ μιας εξαρτημένης μεταβλητής και μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών. Με λίγα λόγια, σας βοηθά να κατανοήσετε πώς οι αλλαγές σε μία ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές σχετίζονται με τις αλλαγές στην εξαρτημένη μεταβλητή.

Για να κατανοήσετε σε βάθος την ανάλυση παλινδρόμησης, πρέπει πρώτα να κατανοήσετε τους ακόλουθους όρους:

Εξαρτημένη μεταβλητή: Αυτή είναι η μεταβλητή που σας ενδιαφέρει να αναλύσετε ή να προβλέψετε. Είναι η μεταβλητή αποτελέσματος που προσπαθείτε να κατανοήσετε και να εξηγήσετε.
Ανεξάρτητες μεταβλητές: Αυτές είναι οι μεταβλητές που πιστεύετε ότι επηρεάζουν την εξαρτημένη μεταβλητή. Συχνά αναφέρονται ως μεταβλητές πρόβλεψης, καθώς χρησιμοποιούνται για να προβλέψουν ή να εξηγήσουν τις αλλαγές στην εξαρτημένη μεταβλητή.

Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για διάφορες περιπτώσεις, όπως η πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής, η κατανόηση της επίδρασης των ανεξάρτητων μεταβλητών στην εξαρτημένη μεταβλητή και η εύρεση ακραίων τιμών ή ασυνήθιστων περιστατικών στη συλλογή δεδομένων.

Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να ταξινομηθεί σε διάφορους τύπους, συμπεριλαμβανομένης της απλής γραμμικής παλινδρόμησης, της λογιστικής παλινδρόμησης, της πολυωνυμικής παλινδρόμησης και της πολλαπλής παλινδρόμησης. Το κατάλληλο μοντέλο παλινδρόμησης καθορίζεται από τη φύση των δεδομένων και το εξεταζόμενο αντικείμενο της έρευνας.

Πώς λειτουργεί η ανάλυση παλινδρόμησης;

Σκοπός της ανάλυσης παλινδρόμησης είναι να προσδιοριστεί η γραμμή ή καμπύλη που ταιριάζει καλύτερα και αντικατοπτρίζει τη σχέση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και της εξαρτημένης μεταβλητής. Αυτή η γραμμή ή καμπύλη καλύτερης προσαρμογής δημιουργείται με τη χρήση στατιστικών μεθόδων που μειώνουν τις διαφορές μεταξύ των αναμενόμενων και των πραγματικών τιμών στη συλλογή δεδομένων.

Ακολουθούν οι τύποι για τους δύο πιο συνηθισμένους τύπους ανάλυσης παλινδρόμησης:

Ενιαία γραμμική παλινδρόμηση

Στην Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση, χρησιμοποιείτε μια γραμμή καλύτερης προσαρμογής για να δείξετε τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών: της ανεξάρτητης μεταβλητής (x) και της εξαρτημένης μεταβλητής (y).

Η γραμμή καλύτερης προσαρμογής μπορεί να αναπαρασταθεί από την εξίσωση: y = a + bx.

Εδώ, a είναι η τομή, b είναι η κλίση της ευθείας. Για να υπολογίσετε την κλίση, χρησιμοποιείτε τον τύπο: b = (nΣ(xy) - ΣxΣy) / (nΣ(x²) - (Σx)²), όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων, Σxy είναι το άθροισμα του γινομένου των x και y, Σx και Σy είναι τα αθροίσματα των x και y αντίστοιχα, και Σ(x²) είναι το άθροισμα των τετραγώνων του x.

Για να υπολογίσετε την τομή, χρησιμοποιείτε τον τύπο: a = (Σy - bΣx) / n.

Πολλαπλή παλινδρόμηση

Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση:

Ο τύπος για την εξίσωση του μοντέλου πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b_nx_n

όπου y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, x₁, x₂, ..., x_n είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές και b₀, b₁, b₂, ..., bn είναι οι συντελεστές των ανεξάρτητων μεταβλητών.

Ο τύπος για την εκτίμηση των συντελεστών με τη χρήση συνήθων ελαχίστων τετραγώνων είναι:

β = (X'X)^(-1)X'y

όπου β είναι ένα διάνυσμα στήλης των συντελεστών, Χ είναι ο πίνακας σχεδιασμού των ανεξάρτητων μεταβλητών, Χ' είναι η μεταφορά του Χ και y είναι το διάνυσμα των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής.

Παράδειγμα ανάλυσης παλινδρόμησης

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να εξετάσετε τη σχέση μεταξύ του μέσου όρου βαθμολογίας (GPA) ενός ατόμου και του αριθμού ωρών μελέτης ανά εβδομάδα. Συλλέγετε πληροφορίες από ένα σύνολο φοιτητών, συμπεριλαμβανομένου του αριθμού ωρών μελέτης και του μέσου όρου βαθμολογίας τους.

Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την ανάλυση παλινδρόμησης για να δείτε αν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών και, αν ναι, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα μοντέλο που να προβλέπει τον μέσο όρο βαθμολογίας ενός μαθητή με βάση τον αριθμό των ωρών που μελετά την εβδομάδα.

*Η εικόνα είναι διαθέσιμη στο alchemer.com*

Όταν τα δεδομένα απεικονίζονται σε χάρτη διασποράς, φαίνεται ότι υπάρχει μια ευνοϊκή γραμμική σχέση μεταξύ των ωρών μελέτης και του GPA. Η κλίση και η τομή της γραμμής καλύτερης προσαρμογής εκτιμώνται στη συνέχεια με τη χρήση ενός απλού μοντέλου γραμμικής παλινδρόμησης. Η τελική λύση θα μπορούσε να μοιάζει ως εξής:

GPA = 2,0 + 0,3 (ώρες μελέτης ανά εβδομάδα)

Η εξίσωση αυτή αναφέρει ότι για κάθε επιπλέον ώρα μελέτης την εβδομάδα, ο μέσος όρος βαθμολογίας ενός φοιτητή θα αυξηθεί κατά 0,3 μονάδες, με όλα τα υπόλοιπα να είναι ισοδύναμα. Αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη του GPA ενός μαθητή με βάση τον αριθμό των ωρών μελέτης που μελετά την εβδομάδα, καθώς και για τον εντοπισμό των μαθητών που κινδυνεύουν να υποαποδώσουν με βάση τη ρουτίνα μελέτης τους.

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παραδείγματος, οι τιμές για b και a έχουν ως εξής:

n = 10 (ο αριθμός των παρατηρήσεων)

Σx = 30 (το άθροισμα των ωρών μελέτης)

Σy = 25 (το άθροισμα των GPA)

Σxy = 149 (το άθροισμα του γινομένου των ωρών σπουδών και των GPA)

Σ(x)² = 102 (το άθροισμα των τετραγώνων των ωρών μελέτης)

Χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές, υπολογίστε b ως:

b = (nΣ(xy) - ΣxΣy) / (nΣ(x²) - (Σx)²)

= (10 * 149 – 30 * 25) / (10 * 102 – 30²)

= 0.3

Και υπολογίστε a ως:

a = (Σy - bΣx) / n

= (25 – 0.3 * 30) / 10

= 2.0

Επομένως, η εξίσωση της γραμμής καλύτερης προσαρμογής είναι:

GPA = 2,0 + 0,3 (ώρες μελέτης ανά εβδομάδα)

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ συσχέτισης και παλινδρόμησης;

Τόσο η συσχέτιση όσο και η παλινδρόμηση είναι στατιστικές μέθοδοι για την εξέταση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξυπηρετούν διαφορετικούς σκοπούς και παρέχουν διαφορετικούς τύπους πληροφοριών.

Η συσχέτιση είναι ένα μέτρο της ισχύος και της πορείας μιας σύνδεσης μεταξύ δύο μεταβλητών. Κυμαίνεται από -1 έως +1, με το -1 να αντιπροσωπεύει μια τέλεια αρνητική συσχέτιση, το 0 να αντιπροσωπεύει καμία συσχέτιση και το +1 να αντιπροσωπεύει μια τέλεια θετική συσχέτιση. Η συσχέτιση δείχνει το βαθμό στον οποίο δύο μεταβλητές συνδέονται, αλλά δεν υποδηλώνει την αιτία ή την προβλεψιμότητα.

Η παλινδρόμηση, από την άλλη πλευρά, είναι μια μέθοδος μοντελοποίησης της σύνδεσης μεταξύ δύο μεταβλητών, συνήθως με σκοπό την πρόβλεψη ή την εξήγηση της μιας μεταβλητής με βάση την άλλη. Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να παρέχει εκτιμήσεις του μεγέθους και της κατεύθυνσης της σχέσης, καθώς και ελέγχους στατιστικής σημαντικότητας, εύρη εμπιστοσύνης και προβλέψεις μελλοντικών αποτελεσμάτων.

Οι δημιουργίες σας, έτοιμες μέσα σε λίγα λεπτά

Mind the Graph είναι μια διαδικτυακή πλατφόρμα που σας προσφέρει μια εκτεταμένη βιβλιοθήκη επιστημονικών εικονογραφήσεων και σχεδίων infographic που μπορούν να τροποποιηθούν απλά για να καλύψουν τις δικές σας μοναδικές ανάγκες. Δημιουργήστε επαγγελματικής εμφάνισης διαγράμματα, αφίσες και γραφικές περιλήψεις μέσα σε λίγα λεπτά, χρησιμοποιώντας ένα περιβάλλον εργασίας drag-and-drop και ένα ευρύ φάσμα εργαλείων και λειτουργιών.