Le test du khi-deux : Comprendre et appliquer cet outil statistique

Le test du chi-carré est un outil puissant en statistique, en particulier pour l'analyse de données catégorielles sous différentes formes et dans différentes disciplines. Dans certains ensembles de données, les nombres continus représentent les données, tandis que dans d'autres, les données catégorielles représentent les données groupées selon le sexe, les préférences ou le niveau d'éducation. Lors de l'analyse de données catégorielles, le test du chi-carré est un outil statistique largement utilisé pour explorer les relations et en tirer des conclusions significatives. Cet article explique le fonctionnement du test du khi-deux, ses applications et pourquoi il est essentiel pour les chercheurs et les analystes de données.

Tout au long de ce blog, nous examinerons le fonctionnement du test du khi-deux, la manière dont il est effectué et la façon dont il peut être interprété. Vous pouvez utiliser le test du Khi-deux pour mieux comprendre l'analyse des données, que vous soyez étudiant, chercheur ou intéressé par l'analyse des données en général.

Comprendre l'importance du test du khi-deux

Le test du khi-deux est une méthode statistique fondamentale utilisée pour examiner les relations entre les variables catégorielles et tester les hypothèses dans divers domaines. Comprendre comment appliquer le test du chi-deux peut aider les chercheurs à identifier des modèles et des associations significatifs dans leurs données. Sous l'hypothèse nulle, il compare les données observées à ce que l'on attendrait s'il n'y avait pas de relation entre les variables. Dans des domaines tels que la biologie, le marketing et les sciences sociales, ce test est particulièrement utile pour tester des hypothèses sur la distribution des populations.

À la base, le test du Khi-deux mesure l'écart entre les fréquences observées et les fréquences attendues dans des données catégorielles. En l'utilisant, nous pouvons répondre à des questions telles que : "Les modèles de données observés diffèrent-ils de ce que l'on pourrait attendre du hasard ?" ou "Deux variables catégorielles sont-elles indépendantes l'une de l'autre ?"

Types de tests du khi-deux

Le test du chi-carré se présente sous deux formes principales : le test d'adéquation et le test d'indépendance, chacun étant adapté à des enquêtes statistiques spécifiques.

1. Test d'adéquation du chi-carré

Une variable catégorielle individuelle est testée pour déterminer si elle suit une distribution particulière. Un modèle ou des données historiques sont souvent utilisés pour vérifier si les données observées correspondent à une distribution attendue.

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Imaginez que vous lanciez un dé 60 fois. Comme le dé est juste, on s'attend à ce que chaque face apparaisse dix fois, mais les résultats réels varient légèrement. Afin de déterminer si cet écart est significatif ou simplement le fruit du hasard, vous pouvez effectuer un test d'adéquation.

Étapes à suivre :

Sur la base de la distribution théorique, déterminez les fréquences attendues.
Comparez-les ensuite aux fréquences observées.
Calculer la statistique du Khi-deux pour quantifier l'écart.

Les chercheurs utilisent souvent ce test dans le cadre du contrôle de la qualité, de la génétique et d'autres domaines où ils souhaitent comparer des données observées à une distribution théorique.

2. Test d'indépendance du khi-deux

Dans ce test, l'indépendance de deux variables catégorielles est évaluée. Ce test examine si la distribution d'une variable varie en fonction des niveaux d'une seconde variable. Les tableaux de contingence, qui affichent les distributions de fréquence des variables, sont généralement testés pour l'indépendance à l'aide du test du Khi-deux.

Supposons que vous réalisiez une enquête en demandant aux participants leur sexe et leur type de film préféré (action, drame, comédie). Un test d'indépendance du khi-deux peut être utilisé pour déterminer si le sexe influence les préférences cinématographiques ou si elles sont indépendantes.

Étapes à suivre :

Créez un tableau de contingence pour les deux variables.
En partant de l'hypothèse que les variables sont indépendantes, calculez les fréquences attendues.
À l'aide de la statistique du khi-deux, comparez les fréquences observées aux fréquences attendues.

Dans les études de marché, les soins de santé et l'éducation, ce test est largement utilisé pour étudier la relation entre les variables démographiques et les résultats, comme la relation entre le niveau d'éducation et les préférences électorales.

Applications du test du khi-deux dans des situations réelles

Le test du chi-carré est particulièrement utile lorsqu'on travaille avec des données catégorielles, telles que le sexe, les préférences ou les affiliations politiques, afin de tester les relations et les modèles. Les tests d'indépendance et d'adéquation sont utilisés pour déterminer s'il existe une association significative entre deux variables (test d'indépendance).

Les chercheurs peuvent tester des hypothèses et déterminer des modèles à l'aide du test du khi-deux pour les données catégorielles. Plusieurs raisons expliquent pourquoi ce test est largement adopté :

Contrairement aux tests paramétriques, il ne nécessite pas d'hypothèses sur la distribution sous-jacente des données.
Différentes disciplines peuvent l'utiliser, ce qui le rend polyvalent.
Sur la base des modèles observés, il aide à prendre des décisions éclairées.

Hypothèses du test du khi-deux

Pour garantir la validité des résultats du test du Khi-deux, certaines hypothèses doivent être respectées. Ces hypothèses permettent de maintenir la précision et la pertinence du test, en particulier lorsque l'on travaille avec des données catégorielles. Trois hypothèses clés doivent être prises en compte : l'échantillonnage aléatoire, les variables catégorielles et les fréquences attendues.

1. L'échantillonnage aléatoire

L'hypothèse première et la plus fondamentale est que les données doivent être collectées par le biais d'un échantillonnage aléatoire. Par conséquent, l'échantillon comprend chaque individu ou élément de manière égale. Un échantillon aléatoire minimise les biais, de sorte que les résultats peuvent être généralisés à une population plus large.

Si l'échantillon n'est pas aléatoire, les résultats peuvent être faussés et conduire à des conclusions erronées. Les résultats d'une enquête distribuée exclusivement à un groupe spécifique au sein d'une population peuvent ne pas refléter les opinions de l'ensemble de l'organisation, violant ainsi l'hypothèse de l'échantillonnage aléatoire.

2. Variables catégorielles

L'analyse des variables catégorielles - des données qui peuvent être divisées en catégories distinctes - est l'objectif du test du Khi-deux. Il ne doit pas y avoir de variables numériques (bien qu'elles puissent être codées numériquement pour des raisons de commodité) et elles doivent être regroupées en groupes clairement définis.

Voici quelques exemples de variables catégorielles :

Genre (masculin, féminin, non-binaire)
État civil (célibataire, marié, divorcé)
Couleur des yeux (bleu, brun, vert)

Le test du Khi-deux ne peut être utilisé directement avec des données continues, telles que la taille ou le poids, à moins qu'elles ne soient converties en catégories. Pour que le test du Khi-deux soit significatif, les données doivent être catégoriques, telles que "petit", "moyen" ou "grand".

3. Comptage des fréquences attendues

Une autre hypothèse essentielle du test du Khi-deux est la fréquence attendue des catégories ou des cellules du tableau de contingence. En supposant que l'hypothèse nulle est vraie (c'est-à-dire que les variables ne sont pas associées), la fréquence attendue est la fréquence théorique qui existe dans chaque catégorie.

La règle empirique est la suivante : La fréquence attendue pour chaque cellule doit être d'au moins 5. Une fréquence attendue faible peut conduire à des résultats peu fiables si la statistique du test est faussée. Le test exact de Fisher doit être envisagé lorsque les fréquences attendues sont inférieures à 5, en particulier pour les échantillons de petite taille.

Guide étape par étape pour réaliser un test du Khi-deux

Formulation d'hypothèses (hypothèse nulle et hypothèse alternative)

Hypothèse nulle (H0) : Il n'existe aucun lien entre les deux éléments que vous comparez. Toute différence observée est le fruit du hasard.
Hypothèse alternative (H₁) : Cela signifie qu'il existe un lien réel entre les deux éléments. Les différences ne sont pas aléatoires, mais significatives.

2. Création du tableau d'éventualités

Les tableaux de contingence indiquent la fréquence à laquelle certaines choses se produisent ensemble. Le tableau, par exemple, montre différents groupes (comme les hommes et les femmes) et différents choix (comme le produit qu'ils préfèrent). En examinant le tableau, vous verrez combien de personnes appartiennent à chacun des groupes et à chacun des choix.

3. Calcul des fréquences attendues

S'il n'y avait pas de lien réel entre les éléments comparés, les fréquences attendues seraient celles auxquelles on s'attendrait. Une formule simple permet de les calculer :

Fréquence attendue = (Total des lignes × Total des colonnes) /Total général

Cela vous indique simplement à quoi les chiffres devraient ressembler si tout était aléatoire.

4. Calcul de la statistique du khi-deux

Le test du khi-deux vous permet de mesurer l'écart entre les données observées et les résultats attendus, ce qui vous aide à déterminer s'il existe des relations. Il semble compliqué, mais il s'agit de comparer les chiffres réels à ceux attendus :

𝜒2=∑(Observed-Expected)2/ Expected

Vous faites cela pour chaque case de votre tableau et vous les additionnez pour obtenir un chiffre, qui est votre statistique du Khi-deux.

5. Détermination des degrés de liberté

Pour interpréter vos résultats, vous devez connaître les degrés de liberté. En fonction de la taille de votre tableau, vous les calculez. Voici la formule :

Degrés de liberté = ( Nombre de lignes -1)×(Nombre de colonnes-1)

Il s'agit d'une façon élégante de tenir compte de la taille de vos données.

6. Utilisation de la distribution du khi-deux pour trouver la valeur p

Une valeur p peut être calculée à l'aide de la statistique du Khi-deux et des degrés de liberté. La valeur p permet de déterminer si les différences observées sont dues au hasard ou si elles sont significatives.

Interprétation de la valeur p :

En général, une petite valeur p indique que les différences que vous avez trouvées ne sont pas dues au hasard, et vous rejetez donc l'hypothèse nulle. Vous pouvez voir un lien réel entre ce que vous étudiez et ce que vous faites.
Une valeur p supérieure à 0,05 indique que les différences sont probablement dues au hasard et qu'il convient donc de conserver l'hypothèse nulle. Il n'y a donc pas de lien réel entre les deux.

Si deux choses se produisent par accident ou sont liées, vous pouvez utiliser ce processus simplifié pour déterminer si elles sont connectées !

Interprétation des résultats du test du khi-deux

La statistique du Khi-deux nous indique dans quelle mesure les données réelles (ce que vous avez observé) diffèrent de ce à quoi nous nous attendrions s'il n'y avait pas de relation entre les catégories. Essentiellement, elle mesure à quel point les résultats observés diffèrent de ce que nous avions prédit par hasard.

Grande valeur du Khi-deux : La différence entre vos attentes et la réalité est importante. Cela peut indiquer qu'il se passe quelque chose d'intéressant dans vos données.
Petite valeur du Khi-deux : Cela signifie que les données observées sont assez proches de ce qui était attendu et qu'il n'y a peut-être rien d'inhabituel.

Bien que cela soit vrai, la valeur du chi carré ne fournit pas à elle seule toutes les informations dont vous avez besoin. La valeur p permet de déterminer si une différence est significative ou s'il s'agit d'une simple coïncidence.

Signification de la valeur p

Les valeurs P vous aident à déterminer si les différences entre vos données sont significatives. En d'autres termes, elle vous indique la probabilité que les différences observées soient le résultat d'un hasard.

Valeur p faible (généralement 0,05 ou moins) : Cela signifie qu'il est peu probable que la différence soit due au hasard. En d'autres termes, il existe probablement une différence réelle et il se passe quelque chose d'intéressant. Par conséquent, vous rejetterez l'idée qu'il n'y a pas de relation (l'"hypothèse nulle").

Valeur p élevée (supérieure à 0,05) : Cela suggère que la différence pourrait facilement être due au hasard. Par conséquent, il n'y a pas d'indication forte que quelque chose d'inhabituel se produise dans vos données. S'il n'y a pas de relation entre les catégories, vous ne rejetterez pas l'hypothèse nulle.

Comment tirer des conclusions

Une fois que vous disposez de la statistique du Khi-deux et de la valeur p, vous pouvez tirer des conclusions :

Regardez la valeur p :

Vous rejetez l'idée qu'il n'y a pas de relation entre deux catégories si la valeur p est inférieure ou égale à 0,05. Par exemple, si vous examinez si le sexe affecte la préférence pour un produit et que la valeur p est faible (0,05 ou moins), vous pouvez dire : "Il semble que le sexe affecte les choix des gens" : "Il semble que le sexe affecte les choix des gens".

Si la valeur p est supérieure à 0,05, les données ne présentent pas de différence significative, ce qui vous permet de conclure que les catégories ne sont probablement pas liées. En utilisant une valeur p élevée (supérieure à 0,05), vous pourriez dire : "Il n'y a pas de preuve solide que le sexe influence les préférences en matière de produits.

N'oubliez pas la pertinence dans le monde réel

Vous devez vous demander si une différence statistiquement significative a de l'importance dans la vie réelle, même si elle montre une différence statistiquement significative. Il est possible de considérer que des différences, même minimes, sont importantes avec un très grand ensemble de données, mais elles peuvent ne pas avoir d'impact significatif dans le monde réel. Plutôt que de se contenter de regarder les chiffres, il faut toujours se demander ce que le résultat signifie dans la pratique.

Il vous indique si la différence entre ce que vous attendiez et ce que vous avez obtenu est réelle ou s'il s'agit d'un coup de chance, à l'aide d'une statistique du khi-deux. Vous pouvez déterminer si vos données ont une relation significative lorsque vous les combinez.

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